MAKALAH HIMPUNAN MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

 

1.1. Latarbelakang

Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

 

1.2. Rumusan masalah

-          Apa itu Himpunan Matematika?

-          Bagaimana cara penyajian Himpunan?

-          Apa itu Himpunan Universal dan Himpunan Kosong?

-          Apa yang dimaksud Operasi Himpunan?

-          Apa saja Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan?

 

1.3. Tujuan

-          Untuk Mengatahui Himpunan Matematika.

-          Untuk Mengatahui Bagaimana cara penyajian Himpunan.

-          Untuk Mengatahui Himpunan Universal dan Himpunan Kosong.

-          Untuk Mengatahui Apa yang dimaksud Operasi Himpunan.

-          Untuk Mengatahui Apa saja Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan.

 

 

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

2.1. Sejarah

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Georg Cantor (1845 -1918) adalah ahli matematika Jerman, penemu teori himpunan, penemu konsep bilangan lewat terhingga (transfinit), doktor, guru besar, dan pengarang. Ia lahir di St Patersburg sekarang Leningrad Rusia, pada tangal 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman, pada tanggal 6 Januari 1918 pada umur 73 tahun karena sakit jiwa, sebab teorinya ditentang para ahli matematika sezamannya. Pada umur 22 tahun ia mendapat gelar doktor. Tesisnya berjudul “Dalam matematika, bertanya lebih berharga dari memecahkan soal”. Kemudian ia bekerja di Universitas Halle sampai akhir hidupnya. Mula-mula iahanya digaji sebagai dosen tak tetap. Pada umur 27 tahun ia diangkat jadi guru besar pembantu. Baru pada umur 34 tahun ia diangkat jadi guru besar tetap.

Cantor menikah pada umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Meskipun gajinya kecil, ia dapat membangun rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya. Selama 10 tahun ia terus-menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan- tulisannya. Teori himpunan dan Konsep Bilangan Transfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya itu tidak menguntungkan Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika pada waktu itu, terutama dari gurunya, ialah Kronecker. Akan tetapi penemuan beliau sampai sekarang hampir seluruh orang di dunia menerima Teori Himpunan.

 

 

 

 

2.2. Penyajian Himpunan

Ada banyak cara menyajikan himpunan. Disini akan dijelaskan 4 cara penyajian, yaitu mengenumerasi elemen-eleelemen, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan dan menghunakan diagram ven.

1.      Enumeras

Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar kita bisa menyajikannya dengan cara enumerasi maksudnya menulis semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah kurung kurawal {}.

contoh:

Himpunan k berisi lima bilangan genap positif

maka, k ={2, 4, 6, 8, 10}

 

2.      Simbol-simbol Baku

Beberapa himpunan dituliskan dengan simbol-simbol baku. simbol baku ditulis dalam bentuk huruf tebal (boldface) . yanh sering digunakan untuk mendefinisikan himpunan, antar lain sebagai berikut:

P adalah bilangan bulat positif

N adalah bilangan asli

Z adalah bilangan bulat

Q adalah bilangan rasional

R adalah bilangan rill

C adalah bilangan kompleks

U adalah bilangan universal atau semesta

contoh:

U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A={1, 3, 5}

 

3.      Notasi pembentuk Himpunan

Cara penyajian ini dengan cara himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi { x l syarat yang harus dipenuhi oleh x }

aturan yang digunakan dalam menulis syarat keanggotaan:

 

bagian dikiri tanda | melambangkan elemem himpunan, dibaca dimana atau sedemikian sehingga

bagian dikanan tanda | menunjukkan syarat keanggotaa himpunan

setiap tanda (,) didalam syarat keanggotaan dibaca

contoh:

C adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5

C = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5}

maka notasi ringkasnya:

C = { x | x E, x < 5}

 

4.      Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram Venn.Aturan dalam pembuatan diagram Venn adalah sebagai berikut.

Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.

Menggambar kurva tertutup sederhana yang menggambarkan himpunan.

Memberi noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota himpunan.

contoh:

misalkan S ={1, 2, 3,…7, 8, 9}, A ={1, 2, 3, 4, 5} dan B ={ 2, 5, 6, 7}. ketiga himpunan tersebut ditulis dalam diagramvennn. perhatikan bahwa A dan B mempunyai anggota yang sama yaitu 2 dan 5. anggota S yang lain yaitu 8 dan 9 tidak termasuk dalam himpunan A dan B

 

 

 

 

2.3. Himpunan Universal dan Himpunan Kosong

2.3.1. Himpunan Universal/Himpunan Semesta

Himpunan universal atau yang lebih sering kita sebut himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek/benda yang sedang dibicarakan.

Contoh:

-          A = {ikan nila, ikan mujair}

berarti A = {himpunan ikan tawar}

-          H = {A, B, C, D}

berarti H = {himpunan nama-nama huruf}

-          B = {himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf J}

berarti B = {himpunan nama-nama bulan dalam 1 tahun}

-          K = {Matematika, Biologi, Ekonomi, B. Inggris, Teknik Bangunan}

berarti K = {himpunan nama-nama prodi di IKIP Gunungsitoli}

 

2.3.2. Himpunan Kosong (Null Set)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan notasi Ø atau { }. Himpunan kosong tidak diartikan bukan anggota himpunan melainkan benar-benar tidak ada syarat-syarat keanggotaan himpunannya.

Contoh:

-          himpunan nama-nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf H.

-          himpunan bilangan asli yang kecil dari satu.

-          himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

 

 

 

 

 

 

2.4. Operasi himpunan

1.      Gabungan dua himpunan

Operasi himpunan pertama yang akan kita bahas disini adalah gabungan. Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan A dan himpunan B, dimana anggota yang sama hanya ditulis satu kali.

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x|x ϵ A atau x ϵ B}

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

 

2.      Irisan dua himpunan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota himpunan A dan B yang sama. Dengan kata lain, himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, c, e, g, i}

Pada kedua himpunan tersebut ada tiga anggota yang sama, yaitu a, c, dan e. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah a, c, dan e atau ditulis dengan:

A ∩ B = {a, c, e}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B.

 

3.      Selisih Dua himpunan

Operasi himpunan berikutnya adalah selisih dua himpunan. Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota himpunan A tetapi tidak dimiliki himpunan B.

A selisih B ditulis A-B = {x|x ϵ A atau x Ï B}

Contoh:

A = {a, b, c, d, e}

B = {a, c, e, g, i}

A-B = {b, d}

 

 

4.      Komplemen

Komplemen dari A adalah himpunan semua elemen dari S yang tidak ada di himpunan A.

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x|x ϵ S atau x Ï A}

Contoh:

A= {1, 3, …, 9}

S = {bilangan ganjil kurang dari 20}

Ac = {11, 13, 15, 17, 19}

 

Contoh soal operasi himpunan

Jika diketahui A = {a, b, c, d, e} B = {a, c, e, g, i} C = {b, c, e, f, g}

Tentukanlah:

a. A ∩ B

b. A ∩ C

c. B ∪ C

d. A ∪ B ∪ C

 

Jawab:

a. A ∩ B = {a, c, e}

b. A ∩ C = {b, c, e}

c. B ∪ C = {a, b, c, e, f, g, i}

d. A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g, i}

 

2.4. Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

-          Kaidah Idempoten

a.       A U A = A b. A ∩ A = A

-          Kaidah Asosiatif

a.       ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

-          Kaidah Komutatif

a.       A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A

-          Kaidah Distributif

a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

BAB III

PENUTUP

 

3.1. Kesimpulan

Buat yang masih bingung, begini alasannya….

Pada contoh 1 hewan berkaki dua, kita akan memiliki pendapat yang sama tentang hewan-hewan apa saja yang berkaki dua, misalnya ayam, bebek, dan burung. Semua setuju kan kalau hewan-hewan tersebut berkaki dua? Pasti setuju kan. Nah, hewan berkaki dua memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan. Untuk contoh 2 bilangan asli juga memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan.

Pada contoh 2 lukisan yang bagus dan contoh 4 orang yang pintar, keduanya tidak memiliki definisi yang jelas. Kata bagus dan pintar memiliki definisi yang berbeda untuk setiap orang, misalnya aku menganggap lukisan A bagus tapi kamu belum tentu mengganggap lukisan A bagus juga kan? Oleh karena itu, lukisan yang bagus dan orang yang pintar bukan suatu himpunan.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Semoga Bermanfaat Dan Slalu jaga Kesehatan ya Sahabat 
Semoga Allah Selalu memberikan Kesehatan dan Berkah Buat kalian 
amin............:) 

Wasalamualaikum Wr. Wb.